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2012研究生數學建模競賽C題-中文簡體

有桿抽油系統的數學建模及診斷

目前,開采原油廣泛使用的是有桿抽油系統(垂直井,如圖1)。電機旋轉運動轉化為抽油桿上下往返周期運動,帶動設置在桿下端的泵的兩個閥的相繼開閉,從而將地下上千米深處蘊藏的原油抽到地面上來。

鋼制抽油桿由很多節連接而成,具有相同直徑的歸為同一級,級數從上到下按1,2…進行編號,可多達5級,從上端點到下端點可能長達上千米。描述抽油桿中任意一水平截面(為表述方便,下面把桿水平截面抽象稱為“點”)處基本信息的通用方法是示功圖:它是該點隨時間t而變化的荷載(合力,向下為正)數據作為縱坐標,以該點垂直方向上隨時間t而變化的位置相對于t=0時刻該點位置的位移數據作為橫坐標構成的圖形。函數關系表現為位移-荷載關于時間t的參數方程。一個沖程(沖程的說明見附錄)中示功圖是一條封閉的曲線。構成示功圖的數據稱為示功數據。

抽油桿上端點稱為懸點,圖4示意了懸點E的運動過程。在一個沖程期間,儀器以一系列固定的時間間隔測得懸點E處的一系列位移數據和荷載數據,據此建立懸點E的示功圖稱為懸點示功圖。附件1、2中的位移-荷載數據是某油田某井采油工作時采集的懸點處原始示功數據。

“泵”是由柱塞、游動閥、固定閥、部分油管等幾個部件構成的抽象概念(見圖2),泵中柱塞處的示功圖稱為泵功圖。因為受到諸多因素的影響,在同一時刻t,懸點處的受力(荷載)與柱塞的受力是不相同的;同樣,在同一時刻t,懸點處的相對位移與柱塞的相對位移也不相同。因此懸點示功圖與泵功圖是不同的。圖5給出了理論懸點示功圖和理論泵功圖。示功圖包含了很多信息,其中就有有效沖程,泵的有效沖程是指泵中柱塞在一個運動周期內真正實現從出油口排油的那段沖程。工程上一般根據示功圖形狀與理論示功圖進行對比來判斷抽油機工作狀態。

通過懸點示功圖可以初步診斷該井的工作狀況,如產量、氣體影響、閥門漏液、沙堵等等。要精確診斷油井的工作狀況,最好采用泵功圖。然而,泵在地下深處,使用儀器測試其示功數據實現困難大、成本高。因此,通過數學建模,把懸點示功圖轉化為桿上任意點的示功圖(統稱為地下示功圖)并最終確定泵功圖,以準確診斷該井的工作狀況,是一個很有價值的實際問題。

請解決以下問題:

問題一:光桿懸點運動規律

電機旋轉運動通過四連桿機構轉變為抽油桿的垂直運動。假設驢頭外輪廓線為部分圓弧、電機勻速運動,懸點E下只掛光桿(光桿下不接其它桿,不抽油,通常用來調試設備)。請按附錄4給出四連桿各段尺寸,利用附件1的參數,求出懸點E

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